RSS

  

RSS


パ：分数和で１

  • いわいまさか
  • at 2013/1/11 17:57:39

有松太郎さんからのパズル年賀状、今年２０１３年の問題はこれだった。

詳細はこちら
http://puzzleelzzup.blog33.fc2.com/blog-entry-464.html

エキスだけかくと
1/a+1/b+1/c+1/d+1/e+1/2013=1

なんか数理性の高い問題だ。

最初、エクセル使って解こうとしたが、早々にあきらめた。
Ｃ＃でプログラミングして解いた。コーディングにはそこかしこの時間がかかったが、計算時間はあっという間。

そのプログラミングをいじって「分子が１の分数」の和が１になるときを求めてみた。「エジプト式分数」関連。

３項の場合と４項の場合は以下のリスト。
（注意：分母が１００００以下の場合を対象に調べた）

３項    １個
1/2+1/3+1/6=1

４項　　６個
1/2+1/4+1/6+1/12=1
1/2+1/3+1/10+1/15=1
1/2+1/3+1/9+1/18=1
1/2+1/4+1/5+1/20=1
1/2+1/3+1/8+1/24=1
1/2+1/3+1/7+1/42=1



みんなでピザをわけるときに使え・・・はしないかw


  • コメント (8)
  • トラックバック (0)
トラックバックURL :
http://www.iwai-masaka.jp/tb.cgi/55779

コメントを書く


コメント

面白そうな問題です。
1/2+1/4+1/6+1/12=1　と　
1/2+1/3+1/9+1/18=1　とは
兄弟関係にあると言えます。
他にも兄弟関係の組みはあるのでしょうか？

  • Posted by かっちゃん
  • at 2013/01/25 06:26:47

兄弟関係ってなんでしょうか？
説明をぜひ。
　

  • Posted by いわいまさか
  • at 2013/01/25 11:27:47

1/2+1/4+1/6+1/12=1に2を掛けると1+1/2+1/3+1/6=2
両辺から１を引いて1/2+1/3+1/6=1
1/2+1/3+1/9+1/18=1に3を掛けると3/2+1+1/3+1/6=3
両辺から２を引いて1/2+1/3+1/6=1
となり、共に同じ３項の式に変形されます。
同じ式から派生したという点で、兄弟関係と言ってみました。正しい数学用語ではありません。

  • Posted by かっちゃん
  • at 2013/01/26 00:23:45

示された５項の式から探すと
1/2+1/4+1/8+1/12+1/24=1と1/2+1/3+1/12+1/18+1/36=1の組や
1/2+1/4+1/6+1/20+1/30=1と
1/2+1/3+1/9+1/30+1/45=1の組などが兄弟関係になる。どうやら無限にありそうだ。

  • Posted by かっちゃん
  • at 2013/01/27 16:49:05

a=3/2 のときは
1/4+(1/2)*a=1 だし
1/2+(1/3)*a=1 だ
ということでしょうか
それとも、もっと広げられるのか・・・

  • Posted by いわいまさか
  • at 2013/01/27 20:34:17

それらのパターン以外に1/2+1/3を含む式を6倍する方法が有りました。5項の式が3項の式に還元されます。
２と3以外の数がからむ変換は他にはなさそうです。
∑(1/N_i)=1をMで割って、1/Mを含む式に代入したときに同じ分数がでなければ、項数はいくらでも増やせますね。1/2を含まない式は、何項以上必要なんでしょう？

  • Posted by かっちゃん
  • at 2013/01/30 23:40:11

http://group.ameba.jp/thread/detail/?groupId=kWphWbGFA6SH&threadId=C1y4x052sfUR9Baae4F62G&page=1&order=asc
に情報がのってます。
1/2を使わない例が
1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/12 + 1/24
奇数だけの例が
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/15+1/21+1/27+1/45
 +1/63+1/105+1/135+1/189+1/945

  • Posted by いわいまさか
  • at 2013/01/31 08:03:17

情報ありがとうございます。
1/2を含まない式は、４項の１番目と５番目の式から導かれますね。

  • Posted by かっちゃん
  • at 2013/01/31 20:35:43