ちょっと計算４次元その２

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ちょっと計算４次元その２

いわいまさか
at 2016/3/14 04:16:48

①三角形の面積は　底辺×高さ÷２

②錐の体積は　底面の面積×高さ÷３　なので

③四次元錐（呼び方わからず）の場合は

底立体の体積×高さ÷４　なのだと思う。

これは、（

正方形＝正４角形

立方体＝正６面体

超立方体＝正８胞体

）であり、

（

正方形の中心から各頂点に線を引く➩三角形が４つ

立方体の中心から各頂点に線を引く➩　底面が正方形の角錐が６つ

超立方体の中心から各頂点に線を引く➩　底立体が立方体の４次元錐が８つ

）から、類推できる。

４平方の定理の証明

http://mathtrain.jp/yonheiho

を参考に５平方の定理を味わってみると

（これより前の部分も合わせて、いろいろと当て勘のところがあるので証明にはなってない）

O(0,0,0,0)

A(a,0,0,0)

B(0,b,0,0)

C(0,0,c,0)

D(0,0,0,d)

点OABCで形成される三角錐の体積は

上記①②なので

$\frac{abc}{6}$

で他のOBCD、OCDA、ODABも同様。

A,B,C,Dを含む３次元平面の方程式は

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}+\frac{u}{d}=1$

原点からの距離eを求めると

$e=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}}}$

5胞体0ABCDの４次元体積（呼び方？）は

上記①②③を適用する方法で

$\frac{abcd}{24}$

一方、高さとしての距離eと底立体ABCD(斜胞とかいうとびびるが４面体なのだ)とに着目すると

底立体の体積 × 高さe ÷ 4 = 5胞体の４次元体積

$\frac{Ve}{4}=\frac{abcd}{24}$

$V=\frac{abcd}{6e}$

$V=\frac{abcd}{6}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}}}$

$V^2=(\frac{bcd}{6})^2+(\frac{cda}{6})^2+(\frac{dab}{6})^2+(\frac{abc}{6})^2$

ぜいぜい、いいながら、計算したが、まぁ、こんな感じ。

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